1. Biểu diễn tuyến tính
Cho hệ $m$ véctơ $n$ chiều $X_1,X_2,...,X_m.$ Véctơ $Xin mathbbR^n$ được trình diễn tuyến tính qua $m$ véctơ $X_1,X_2,...,X_m$ giả dụ tồn tại $m$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ làm sao cho $X=alpha _1X_1+alpha _2X_2+...+alpha _mX_m.$Đẳng thức trên tương tự với: $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ là nghiệm của hệ phương trình con đường tính tất cả $n$ phương trình cùng $m$ ẩn $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ tất cả ma trận hệ số không ngừng mở rộng $overlineA=left( X_1 ext X_2...X_m ext X ight)$ trong đó các véctơ $X_1,X_2,...,X_m,X$ được viết bên dưới dạng cột:2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc vào tuyến tính của một hệ véctơ
Cho $m$ véctơ $n$ chiều $X_1,X_2,...,X_m.$ Xét đẳng thức: $alpha _1X_1+alpha _2X_2+...+alpha _mX_m=O_n(*).$ Đẳng thức này tương đương với hệ đường tính tổng quát gồm $n$ phương trình cùng $m$ ẩn $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ bao gồm ma trận thông số là $A=left( X_1 ext X_2 ext X_m ight),$ trong số ấy các véctơ $X_1,X_2,...,X_m$ viết bên dưới dạng cột.Hệ bao gồm $m$ véctơ $n$ chiều $X_1,X_2,...,X_m$ được điện thoại tư vấn là chủ quyền tuyến tính nếu (*) chỉ xảy ra khi $alpha _1=alpha _2=...=alpha _m=0,$ tức hệ tuyến đường tính thuần nhất có ma trận hệ số $A$ tất cả nghiệm bình bình duy nhất, tức vượt trình biến hóa ma trận hệ số $A$ dứt dưới dạng tam giác.Hệ gồm $m$ véctơ $n$ chiều $X_1,X_2,...,X_m$ được hotline là phụ thuộc vào tuyến tính trường hợp tồn trên $m$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ không đồng thời bởi 0 làm sao để cho đẳng thức (*) xảy ra, tức hệ đường tính thuần nhất tất cả ma trận hệ số $A$ có vô số nghiệm, tức quá trình biến hóa ma trận thông số $A$ dứt dưới hình dáng thang.Bạn đang xem: Cách chứng minh hệ độc lập tuyến tính
Ví dụ 4.Cho $P=left A,B,C ight,Q=left A,B,A+2C ight.$ chứng minh rằng $P$ hòa bình tuyến tính thì $Q$ chủ quyền tuyến tính.
Giải.Giả sử ngược $Q=left A,B,A+2C ight$ dựa vào tuyến tính lúc ấy tồn tại 3 số thực $alpha _1,alpha _2,alpha _3$ khôngđồng thời bằng 0 sao để cho $eginarrayl alpha _1A + alpha _2B + alpha _3(A + 2C) = O Leftrightarrow (alpha _1 + alpha _3)A + alpha _2B + 2alpha _3C = O\ Leftrightarrow left{ eginarrayl alpha _1 + alpha _3 = 0\ alpha _2 = 0\ 2alpha _3 = 0 endarray ight. Leftrightarrow alpha _1 = alpha _2 = alpha _3 = 0. endarray$(vô lí).
Vậy $Q=left A,B,A+2C ight$ tự do tuyến tính.
3. Các định lí về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định lí 1:Một hệ véctơ $n$ chiều tất cả số véctơ lớn hơn hoặc bằng hai. Hệ véctơ đó dựa vào tuyến tính khi và chỉ còn khi bao gồm một véctơ vào hệ được màn biểu diễn tuyến qua những véctơ còn lại.
Hệ quả: Hệ gồm hai véctơ $X,Y$ dựa vào tuyến tính khi và chỉ còn khi $X,Y$ xác suất và trái lại $X,Y$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi $X,Y$ không tỷ lệ.
Định lí 2:Cho nhị hệ véctơ $n$ chiều $left X_1,X_2,...,X_m ight$ và $left Y_1,Y_2,...,Y_k ight.$
Nếu $m>k$ và số đông véctơ $X_i(i=1,2,...,m)$ được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left Y_1,Y_2,...,Y_k ight$ thì hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight$ phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả:Mọi hệ véctơ $n$ chiều gồm số véctơ lớn hơn số chiều (lớn hơn $n$) thì hệ véctơ đó dựa vào tuyến tính.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu như hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight\subset mathbbR^n$ hòa bình tuyến tính với tồn trên véctơ $Xin mathbbR^n$ không biểu diễn tuyến đường tính qua hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight$ thì $mle n-1.$
Giải. Giả sử $m>n-1$ suy ra hệ véctơ $X_1,X_2,...,X_m,X$ tất cả số véctơ là $m+1>n$ lớn hơn số chiều của $mathbbR^n$ nên phụ thuộc vào tuyến tính. Vày vậy lâu dài $m+1$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m,alpha $ không đồng thời bởi 0 sao cho
$alpha _1X_1+alpha _2X_2+...+alpha _mX_m+alpha X=O_n.$
Do $X$khôngbiểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight$ buộc phải $alpha =0.$
Vậy $alpha _1X_1+alpha _2X_2+...+alpha _mX_m=O_nLeftrightarrow alpha _1=alpha _2=...=alpha _m=0$ (do hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight\subset mathbbR^n$ tự do tuyến tính). Vậy $alpha _1=alpha _2=...=alpha _m=alpha =0$ (mâu thuẫn cùng với $m+1$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m,alpha $ không đồng thời bởi 0). Vậy ta tất cả điều bắt buộc chứng minh.
XEM TRỰC TUYẾN
Hiện tại fashionssories.com desgin 2 khoá học tập Toán cao cấp 1 cùng Toán cao cấp 2 dành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế của toàn bộ các trường:
Khoá học cung cấp đầy đủ kỹ năng và kiến thức và phương thức giải bài bác tập các dạng toán kèm theo mỗi bài học. Khối hệ thống bài tập rèn luyện dạng trường đoản cú luận có lời giải cụ thể tại website sẽ giúp đỡ học viên học cấp tốc và vận dụng chắc hẳn rằng kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học giúp học viên lấy điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 và Toán thời thượng 2 trong các trường khiếp tế.
Xem thêm: Âm Nhạc Phim Hành Trình Của Moana Ost, Chặng Đường Bao Xa (Hành Trình Của Moana Ost)
Sinh viên những trường ĐH sau đây có thể học được full bộ này:
- ĐH kinh tế Quốc Dân
- ĐH ngoại Thương
- ĐH yêu mến Mại
- học viện chuyên nghành Tài Chính
- học viện chuyên nghành ngân hàng
- ĐH kinh tế tài chính ĐH nước nhà Hà Nội
và những trường đại học, ngành kinh tế tài chính của các trường ĐH không giống trên khắp cả nước...